di Gianfranco Costa

Matematicamente infinito

Credo sia inevitabile cimentarsi prima o poi col concetto di infinito. Ogni qualvolta riflettiamo sull’essenza delle cose, su ciò che molti definiscono come “dio” o anche sulle enormi distanze che caratterizzano l’universo visibile, beh sempre finiamo per doverci confrontare con questa realtà cosi ostica e sfuggente, con questo concetto così difficile da categorizzare per le nostre menti limitate.

In tanti ci hanno provato e continuamente generano nuove interpretazioni: filosofi, matematici, fisici; di solito, ciascuno giunge a definire l’infinito secondo il proprio punto di vista. Il bello è che, di punti di vista, ne esistono infiniti.

Per prima cosa mi piacerebbe sfatare alcune interpretazioni preliminari imprecise, ahimè abbastanza diffuse, dovute ad approfondimenti approssimativi. Iniziamo col sottolineare che infinito non è un numero grande. Anzi, non è per nulla un numero. È un concetto, un’idea, un’astrazione di una dimensione insondabile per i nostri sensi, nonostante si tratti di qualcosa con cui abbiamo a che fare quotidianamente, come vedremo tra poco.

Secondo Wikipedia “in filosofia è la qualità di ciò che non ha limiti o che non può avere una conclusione perché appunto infinito”. Di fatto, lo si associa istintivamente al concetto di totalmente altro, enorme, impossibile da delimitare ma la cosa non è così semplice.

I pitagorici per esempio lo associavano esattamente alla idea opposta: l’infinito era imperfetto, in quanto solo qualcosa che possa avere un inizio e una fine può avere senso. Siccome l’infinito mai giunge a conclusione, è dunque qualcosa di incompiuto, quindi imperfetto.

L’estremizzazione di questi concetti dal punto di vista della speculazione concettuale portò alcuni a formulare i famosi paradossi, ad esempio quelli di Zenone, citati da Aristotele, che consistono nella definizione delle dimostrazioni per assurdo.

Tra questi il più famoso è quello di Achille e la tartaruga: se la tartaruga ha un piede di vantaggio, mentre Achille inizia a muoversi, la tartaruga ha raggiunto una nuova posizione; Achille avrà bisogno di tempo per raggiungerla ma, nel frattempo, la tartaruga non sarà più lì, e così via, “dimostrando” – per assurdo – che Achille mai raggiungerà la tartaruga.

Ciò apre la porta ad approfondimenti di tipo diverso che, sostanzialmente, ci aiutano a definire diversi “tipi” di infinito. Infatti, come i matematici ben sanno, a volte l’infinito tende a quantità finite, voglio dire che alcuni di loro hanno dei limiti determinati.

Differenti ordini d’infinito

Prendiamo in considerazione ad esempio tutti i numeri interi e positivi, per convenzione quelli a destra dello zero in una rappresentazione lineare sequenziale. A questi, è sempre possibile aggiungere uno, pertanto sono “infiniti” (i matematici direbbero che tendono a +∞). A sinistra della cifra zero succede esattamente lo stesso, si può sempre sottrarne uno (o aggiungere una unità negativa), dunque sono infiniti anche questi ma, a differenza dei positivi, questi tendono a “meno infinito” (-∞).

Se ora consideriamo tutti i numeri interi, sia positivi che negativi, stiamo considerando un altro insieme di numeri, anch’esso infinito, che “contiene” i primi due, entrambi infiniti. Praticamente un insieme infinito che ne contiene altri, ugualmente infiniti.

Lo stesso ragionamento, per giungere ad una conclusione leggermente differente, si può applicare ad altri tipi di numeri, per esempio quelli detti “reali”, ovvero quelli che prevedono uno sviluppo decimale. Quanti numeri esistono tra 0 e 1? evidentemente, infiniti (gli infiniti decimali maggiori di zero e minori di uno). Potrei dividere lo spazio tra zero e uno a metà, poi di nuovo a metà e così via, all’infinito.

Però questo nuovo insieme infinito di numeri ha una proprietà in più: ha dei limiti. È un insieme infinito che esiste tra due – mi si consenta l’imprecisione – limiti finiti, per l’appunto 0 e 1.

Seguendo nell’esempio, potremmo chiederci la stessa cosa con rispetto a “sotto gruppi” di questi infiniti numeri che esistono tra zero e uno, per esempio, quanti numeri esistono tra 0,1 e 0,2? Beh, per la stessa ragione, ne esistono infiniti. Questo è però un infinito di tipo ancora differente, che ha dei limiti precisi (0,1 e 0,2) ed è anche contenuto tra gli infiniti numeri che popolano l’esistente tra 0 e 1, i quali a loro volta sono contenuti nell’insieme infinito dei numeri interi positivi ed anche in quello dei numeri interi in genere, e così via. È che è molto impreciso pensare che l’infinito non abbia limiti.

Esistono infiniti insiemi infiniti di ordine differente, contenuti gli uni dentro gli altri, come fossero scatole cinesi che sempre ne contengono un’altra sempre più piccola e sono contenuti in altre sempre più grandi, all’infinito.

Esistono dunque diversi ordini di infinito. Dovremmo pensarci ogni volta che per esempio facciamo un passo, come Achille: in quello spazio, di potenziali passi più piccoli ne esistono infiniti, secondo una logica frattale e ricorsiva.

L’infinito geometrico pone altre domande

Così come abbiamo visto per i numeri interi, stesso tipo di considerazione possiamo farla per una retta, definita come insieme di punti adimensionali, in sequenza. Supponiamola “orizzontale” questa retta (ovviamente questo dipende dal sistema di riferimento scelto e del piano in cui esiste). Ci sarà un estremo che “cresce” verso destra ed un altro verso sinistra? Ebbene no. La retta, per sua definizione, non ha estremi, perché è infinita, né a destra, tanto meno a sinistra.

Altri dicono che le rette “si incontrano all’infinito”, anche qui serve certa calma, prima di affermare cose tanto delicate, almeno potenzialmente. Certo, se il nostro universo (o l’insieme infinito di tutti gli altri, ammesso che esistano) fosse sferico, allora quelle che chiamiamo “rette” sarebbero in ultima analisi delle geodesiche, ovvero potrebbero “incontrarsi” prima o poi. Forse è questa la presunzione di chi interpreta il proprio simbolo di infinito come una maniera di visualizzare il supposto incontro degli estremi opposti. Ma è solo una convenzione. In realtà, esiste solo un punto arbitrario, un punto di partenza, che chiamiamo “zero”, per “muoversi” in una direzione o nell’altra, fino all’infinito. In questo senso, e solo in questo senso del “movimento” dell’osservatore, gli infiniti possono coincidere. L’importante è che le rette, nel nostro sistema di riferimento, si comportino come tali.

Queste poche ovvietà per quanto attiene agli aspetti matematici e geometrici elementari lasciano però il campo ad altri interessanti quesiti di diversa natura. Per esempio, perché il Criterio Creatore Assoluto deve essere infinitamente grande? Non potrebbe essere infinitamente piccolo? E se esistesse in essenza in ciascuno dei differenti ordini di infinito? Se davvero Dio è Informazione, perché non può esistere in ciascuno dei differenti ordini di infinito, inclusi quelli alla nostra portata? E se ciò che definiamo come “assoluto” solo fosse una espressione ricorsiva in logica frattale?

D’altro canto le molte versioni della cosiddetta “Teoria delle Corde”, ovvero il tentativo di far rientrare la gravità a livello quantistico assieme alle altre tre forze fondamentali, nell’intento di riunificare il Criterio a Formula onnicomprensiva, possono esistere solo ammettendo molte altre dimensioni (generalmente 10 spaziali più il tempo). Pero solo le nostre tre dimensioni spaziali di base ci risultano percepibili, mentre tutte le altre, a nostra scala ammesso che esistano, risultano minuscole. Però dentro ciascuna di queste altre, per ora teoriche dimensioni ipotizzate dai fisici teorici, dentro quegli “spazi” apparentemente minuscoli, esistono realtà infinite, capaci di far vibrare le energie alla base di tutto ciò che esiste alla giusta frequenza per poter creare tutte le altre particelle di materia che ci permettono di esistere in questa forma quadrimensionale.

Succede sempre così ogni volta che si tenta di esplorare l’infinito. Un bel respiro profondo e ricominciamo con umile entusiasmo a muoverci come Achille, superando di continuo, anche se inconsciamente, infiniti di altro ordine.

Il paradosso degli opposti

Credo che la stragrande maggioranza degli esseri umani viventi conoscano il simbolo cinese del Tao, l’equilibrio degli opposti, una rappresentazione di tutto ciò che esiste come relazione tra contrari complementari. Femmina e maschio, freddo e caldo, nero e bianco, Yin e Yang in perfetta, reciproca armonia. La fase di consumismo appiattito ed appiattente che viviamo temo lo abbia però ridotto e forse banalizzato, al punto di trasmutarlo in simbolo frequente e diffuso, spesso tatuato, con il rischio di non apprezzarne le infinite sfaccettature concettuali e di principio, come secondo me meriterebbe.

Comincerei da qualcosa di immediato che però credo debba essere sottolineato: c’è del bianco nel nero ed anche nero nel bianco. Non solo gli estremi si equilibrano tra loro dinamicamente in logica complementare ma si compenetrano in essenza. Ogni estremo è parte del suo opposto: il bianco è in un certo senso nero e viceversa. Questi insiemi infiniti (l’infinito insieme del “sopra” e quello del “sotto”, tanto per fare un esempio), si compenetrano.

È già un poco più raro fermarsi a riflettere sul fatto che non apprezzeremmo tanto il giorno se non ci fosse la notte. Nemmeno il calore del sole in estate ci sembrerebbe tanto prezioso se non conoscessimo il rigido inverno. Così come il piacere del sesso non sarebbe tanto intenso senza sperimentare anche noia e la solitudine.

Però alzando un poco il tiro ed anche il livello di provocazione, lo ammetto, mi piacerebbe parlare di un aspetto in particolare che quasi mai sento notare, rispetto questa volta al concetto di “colore” inteso come equilibrio degli opposti. Cerco di spiegarmi meglio.

Tutti noi abbiamo delle preferenze in fatto di colori, alcuni ci piacciono tanto da farci scegliere indumenti, oggetti ed elettrodomestici casalinghi anche, ed a volte soprattutto, in funzione del loro colore. È anche noto che la luce bianca, attraverso il famoso prisma di vetro, oggetto di tanti esperimenti al tempo delle scuole medie, rivela la sua natura di insieme di frequenze elettromagnetiche diverse, che per l’appunto corrispondono ai differenti colori dello spettro visibile.

Quello che però pochi si soffermano a pensare è che, se un oggetto ha un determinato colore, questo significa che quell’oggetto assorbe tutte le altre frequenze tranne quella corrispondente al colore che lo distingue. Voglio dire che un oggetto per esempio di colore verde, assorbe tutte le frequenze della luce bianca ad eccezione del verde, che riflette perché gli osservatori possano appunto vederlo verde. Mi piace pensare cioè che se a me piace il verde, sarò attratto da tutti gli oggetti che lo rifiutano, se ne allontanano, lo riflettono, non lo fanno proprio, se ne disfanno. È una specie di equilibrio dinamico tra gli osservatori ai quali piace il verde e gli oggetti che lo rifiutano. Una particolare forma di equilibrio degli opposti, non vi pare?

Altri opposti paradossi

L’isola di Lanzarote, nell’arcipelago delle isole Canarie, è famosa – tra le molte cose – anche per la produzione di un buonissimo ed apprezzato vino bianco di origine controllata. Ciò che rende possibile produrlo in un ambiente praticamente desertico è la particolare caratteristica porosa e impermeabile ai liquidi della roccia e della cenere vulcanica. È fatta in modo tale che l’umidità notturna si condensa tra le sue piccole porosità cedendola poi durante il giorno ai vigneti che tanto la necessitano, sotto forma di gocce d’acqua. Cos’è che in questo caso mi fa pensare all’equilibrio tra opposti? Beh, il fatto che la roccia lavica è espressione di un passato caratterizzato dalla eccezionale violenza di fuoco dell’eruzione vulcanica. Quando poi tutto si stabilizza, il prodotto finale di quella tremenda espressione distruttiva del fuoco, raccoglie e distribuisce acqua, che è base della vita. Un altro esempio di equilibrio tra opposti, in questo caso acqua e fuoco.

Per non parlare poi dell’idea di ombra, null’altro che equilibrio e conseguenza della profonda relazione tra luce ed oscurità più o meno relativa. Un oggetto proietta la sua ombra se illuminato dalla luce, ma non solo. Quella che solitamente definiamo ombra potrebbe intendersi per esempio come assenza di luce, ostacolata da una forma impenetrabile (equilibrio fra luce ed ombra proiettata). Però a livello del singolo oggetto illuminato, a prescindere dall’ombra che questo può proiettare fuori di sé, se ne genera una che lo riguarda direttamente: il lato non illuminato è lui stesso, precisamente, in ombra (equilibrio tra lato illuminato e lato oscuro).

Addentrandoci un po’ più nell’insolito, a proposito di acqua, mi piace pensare che questa è in realtà costituita da due elementi che in natura si trovano normalmente allo stato gassoso: idrogeno ed ossigeno. Tutti quelli della mia età ricordano per averla studiata la tragedia dell’Hindenburg, lo Zeppelin tedesco che esplose per un incidente che fece incendiare all’istante l’idrogeno che riempiva i suoi 16 scomparti. L’idrogeno è l’elemento principe per generare tremende esplosioni, non a caso esiste anche una bomba all’idrogeno, caratterizzata dalla sua eccezionale potenza distruttiva.

L’ossigeno essendo responsabile per l’appunto della ossidazione, si comporta come catalizzatore principe di ogni processo di combustione. In tema di esperimenti elementari, tutti ricordiamo quello relativo alla candela accesa che, posta sotto un bicchiere rovesciato si spegneva, precisamente per aver esaurito l’ossigeno, necessario alla combustione dello stoppino.

In altri termini, mescolando tra loro l’elemento più esplosivo dell’universo e quello necessario per la maggior parte delle combustioni, si genera acqua che, tra l’altro, spegne il fuoco. Curioso, no?

Mi pare di poter sintetizzare in questo modo, tenendo in conto che per valutare i supposti estremi solo abbiamo disponibile una possibilità, quella di osservare: osservando percepisco luce o l’ombra della sua assenza, così come i vari colori di ciò che vedo. Ogni osservazione dunque, per il proprio fatto di esistere in quanto tale, null’altro è che esperienza di un equilibrio tra opposti.